यदि $\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ccc} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & - x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{array}\right|$ तथा $\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ccc}x & \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \\ -\sin 2 \theta & -x & 1 \\ \cos 2 \theta & 1 & x\end{array}\right|, x \neq 0$; तो सभी $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए
यदि $\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ccc} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & - x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{array}\right|$ तथा $\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ccc}x & \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \\ -\sin 2 \theta & -x & 1 \\ \cos 2 \theta & 1 & x\end{array}\right|, x \neq 0$; तो सभी $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए
- [JEE MAIN 2019]
- A
${\Delta _1} - {\Delta _2} = - 2{x^3}$
- B
${\Delta _1} + {\Delta _2} = - 2({x^3} + x - 1)$
- C
${\Delta _1} - {\Delta _2} = x\left( {\cos \,2\theta - \cos \,4\theta } \right)$
- D
${\Delta _1} + {\Delta _2} = - 2{x^3}$
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यदि $2x + 3y - 5z = 7, \,x + y + z = 6$, $3x - 4y + 2z = 1,$ तो $x =$
यदि $2x + 3y - 5z = 7, \,x + y + z = 6$, $3x - 4y + 2z = 1,$ तो $x =$
माना $d \in R$ तथा $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&{4 + d}&{\left( {\sin \,\theta } \right) - 2}\\ 1&{\left( {\sin \,\theta } \right) + 2}&d\\ 5&{\left( {2\sin \,\theta } \right) - d}&{\left( { - \sin \,\theta } \right) + 2 + 2d} \end{array}} \right]$, $\theta \in \left[ {0,2\pi } \right]$ है, तो $d$ का एक मान है
माना $d \in R$ तथा $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&{4 + d}&{\left( {\sin \,\theta } \right) - 2}\\ 1&{\left( {\sin \,\theta } \right) + 2}&d\\ 5&{\left( {2\sin \,\theta } \right) - d}&{\left( { - \sin \,\theta } \right) + 2 + 2d} \end{array}} \right]$, $\theta \in \left[ {0,2\pi } \right]$ है, तो $d$ का एक मान है
- [JEE MAIN 2019]
मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है जिनके लिए रैखिय समीकरणों
$x+2 y+3 z=\alpha$
$4 x+5 y+6 z=\beta$
$7 x+8 y+9 z=\gamma-$
का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है। मान लीजिए कि $| M |$ आव्यूह (matrix)
$M=\left[\begin{array}{ccc}\alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$
का सारणिक (determinant) है।
मान लीजिए कि $P$ उन सभी $(\alpha, \beta, \gamma)$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है। जिनके लिए ऊपर दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $D$, बिन्दु $(0,1,0)$ की समतल $P$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।
($1$) $| M |$ का मान. . . .है।
($2$) $D$ का मान. . . .है।
मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है जिनके लिए रैखिय समीकरणों
$x+2 y+3 z=\alpha$
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$7 x+8 y+9 z=\gamma-$
का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है। मान लीजिए कि $| M |$ आव्यूह (matrix)
$M=\left[\begin{array}{ccc}\alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$
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मान लीजिए कि $P$ उन सभी $(\alpha, \beta, \gamma)$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है। जिनके लिए ऊपर दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $D$, बिन्दु $(0,1,0)$ की समतल $P$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।
($1$) $| M |$ का मान. . . .है।
($2$) $D$ का मान. . . .है।
- [IIT 2021]
सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए:
$\left|\begin{array}{cc}x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{array}\right|$
सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए:
$\left|\begin{array}{cc}x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{array}\right|$
यदि ${D_p} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}p&{15}&8\\{{p^2}}&{35}&9\\{{p^3}}&{25}&{10}\end{array}\,} \right|$, तो .${D_1} + {D_2} + {D_3} + {D_4} + {D_5} = $
यदि ${D_p} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}p&{15}&8\\{{p^2}}&{35}&9\\{{p^3}}&{25}&{10}\end{array}\,} \right|$, तो .${D_1} + {D_2} + {D_3} + {D_4} + {D_5} = $